2025 浦东二模 21

定义域为 $\mathbb{R}$ 的可导函数 $y = f(x)$ 满足，在曲线 $y = f(x)$ 上存在三个不同的点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$（$x_1 < x_2 < x_3$），使得直线 $AC$ 与曲线 $y = f(x)$ 在点 $B$ 处的切线平行（或重合）．若 $x_1, x_2, x_3$ 成等差数列，则称 $f(x)$ 为“等差函数”；若 $x_1, x_2, x_3$ 成等差数列且 $x_1, x_2, x_3$ 均为正整数，则称 $f(x)$ 为“正整数等差函数”．

1. 设 $f(x) = x^2 + x$，$g(x) = \sin x$，分别判断 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是否为“正整数等差函数”，直接写出结论
2. 若 $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + m}$ 为“正整数等差函数”，求实数 $m$ 的最小值
3. 已知 $y = f(x)$ 的导函数 $y = f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上为增函数，且存在一个正常数 $T$，使得对任意 $x \in \mathbb{R}$，$f(x + T) = f'(x)$ 成立，证明：$f(x)$ 为“等差函数”的充要条件是 $f(x)$ 为常值函数

第三问证明

充分性显然．

$f(x + T) = f'(x)$ 这个条件可以不断迭代，能够得出 $f$ 无穷阶可导，且 $f, f', f'', \ldots$ 均恒 $\geq 0$，均单调增，均为凸函数．并且，如果能够证明 $f$ 存在零点（或其他一些类似条件），则其左侧必恒为 $0$，再向右归纳能够推出常值．

$\displaystyle{\frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1} = f'(x_2)}$ 这样的形式，如果尝试代换则失去齐次特征，不好处理．

题目给 $T$ 的存在性，$x_1, x_2, x_3$ 的存在性，两者没有什么关系，不太好利用．

必要性

若 $f(x)$ 为“等差函数”，则存在 $x_2 \in \mathbb{R}$ 与 $d > 0$，使得 $x_1 = x_2 - d, x_3 = x_2 + d$，且 $\displaystyle{\frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1} = f'(x_2)}$．

对任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $f(x + T) = f'(x)$．$f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调增，所以 $f''(x) \geq 0$．

故 $f(x), f'(x), f''(x)$ 均单调增．

构造函数：

由于 $f''(x)$ 递增，当 $x \leq x_2$ 时，$\lambda''(x) \leq 0$；当 $x \geq x_2$ 时，$\lambda''(x) \geq 0$．故 $\lambda'(x)$ 在 $(-\infty, x_2]$ 上递减，在 $[x_2, +\infty)$ 上递增，于是 $\lambda'(x) \geq 0$，$\lambda(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调增．

由 $\lambda(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调增，且 $\lambda(x_2 - d) = \lambda(x_2 + d)$，$x \in [x_2 - d, x_2 + d]$ 时 $\lambda(x_2 - d) = \lambda(x) = \lambda (x_2 + d)$．$\lambda''(x) = 0$，即 $f''(x) = f''(x_2)$，则 $f'''(x) = 0$．当 $x \in [x_2 - d + 3T, x_2 + d + 3T]$，$f(x) = f'''(x - 3T) = 0$．

由 $f(x)$ 单调增，而 $f(x_2 + d + 3T) = 0$，$f(x) = 0$ 在 $(-\infty, x_2 + d + 3T]$ 成立．

设 $x_0 = x_2 + d + 3T$．下面用数学归纳法证明任意 $n \in \mathbb{N}$，$f(x) = 0, x \in (-\infty, x_0 + nT]$．

当 $n = 0$ 时成立．

假设当 $n = k$ 时命题成立，即 $f(x) = 0, x \in (-\infty, x_0 + kT]$．则区间上 $f'(x) = 0$．

当 $n = k + 1$ 时，$x \in (-\infty, x_0 + (k + 1)T]$，$f(x) = f'(x - T) = 0$ 成立．

由数学归纳法可知，$f(x) = 0$ 对任意 $x \in \mathbb{R}$ 成立，$f(x) = 0$ 是常值函数．必要性得证．

看到这里肯定觉得莫名其妙：凭什么构造出了 $\lambda(x)$？实际上，如果将 $f(x_2 + d) - f(x_2 - d) = 2 d f'(x_2)$ 的左边写成积分形式：

再将右侧看作切线下方面积：

即绿色部分面积为 $0$．结合 $f'$ 的凸性，只能 $f'$ 在 $[x_2 - d, x_2 + d]$ 为线性．

可以发现，上文的 $\lambda'$ 即为 $f'$ 减去切线，$\lambda$ 是 $\lambda'$ 积分得到，如此就避免了过程中出现积分．$\lambda(x_2 - d) = \lambda(x_2 + d)$ 也顺理成章．

参考答案

令 $g(x) = f(x_2 + x) - f(x_2 - x) - 2xf'(x_2), x > 0$，$g'(x) = f'(x_2 + x) + f'(x_2 - x) - 2f'(x_2)$．

直观上也就能理解参考答案的 $g(x)$ 构造了：同样是描述绿色部分面积为 $0$，但同时利用了沿 $x_2$ 的对称结构，显得更加优雅．

泰勒展开

定义

假设函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 附近有多阶导数，则在 $a$ 附近，

称为 $f(x)$ 在 $x = a$ 处的 泰勒展开．

称为 $n$ 阶泰勒多项式．

如果我们在 $x_2$ 处对 $f(x)$ 进行泰勒展开：

两式相减并除以 $2d$，偶数次导数项（包含 $f''$）全部抵消：

因此这道题实际研究三阶导及以上的奇数阶导数．

对于第一问的二次函数 $f(x) = x^2 + x$，$f'''(x) = 0$，则余项均为 $0$，即任意等差数列均满足条件．

余项

只写到 $n$ 阶时，通常不完全等于原函数，相差误差项：

其中 $R_n(x)$ 称为 余项．常见的一种写法是 拉格朗日余项：

其中 $\xi$ 在 $a$ 与 $x$ 之间．

从这一角度，第三问也可以构造：

表示 $f(x)$ 减去 $x_2$ 处的二阶近似．这一构造与 $\lambda(x)$ 只有常数项的差异，因此求导后完全相同．

参考答案的构造实际是：

此外，如果只展开到二阶（带三阶余项）：

两式相减，

由于 $f'''(x)$ 恒 $\geq 0$，只能 $f'''(\xi_1) = f'''(\xi_2) = 0$，即可推导得证．

这几种不同的构造，本质上都是误差函数，而误差为 $0$ 的条件结合题目的凸性可以得出区间线性，从而得证．