2025 虹口二模 21

对于定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 和 $g(x)$， $a \in \mathbb{R}$， 设 $M_a = \{t \mid t = f(x) - g(a), x \geq a\}$．

1. 若 $f(x) = 2^x - 1$，$g(x) = \cos x$，求 $M_0$
2. 若 $f(x) = x^3- 3 x^2$，$g(x) = -x$，$M_a \subseteq [0, +\infty)$，求实数 $a$ 的取值范围
3. 已知对任意 $a \in \mathbb{R}$，均有 $M_a = [0, +\infty)$，记 $h(x) = g(x) - a$，求证：“对任意 $a \in \mathbb{R}$，函数 $y = h(x)$ 零点个数均有限”的充要条件是“$y = f(x)$ 是严格增函数”

第三问证明

出题人故意恶心人，把两个命题中不同含义的 $a$ 用同一个字母表示，生怕学生轻松理解．不妨改写 $h(x) = g(x) - c$，$c$ 为任意实数．

充分性

对任意 $a$，$f(x) - g(a)$ 严格增，$0 \in M_a = [0, +\infty)$，则 $f(a) = g(a)$．$f(x) = g(x)$ 严格增，故 $h(x) = g(x) - c$ 严格增，零点个数有限．

必要性

「零点个数有限」的条件正着不好用，应该用反证法比较合适．容易想到，「零点个数有限」说明函数不能出现平台段（定义域的任意子区间上不为常值）．既然不能有平台，想着刻意去找出 $g$ 上的平台段．

然后我们考虑 $M_a$ 的意义．$M_a$ 是 $f(x) - g(a), x \in [a, +\infty)$ 的值域，$M_a = [0, +\infty)$ 意味着 $f(x), x \in [a, +\infty)$ 的值域是 $[g(a), +\infty)$．这就意味着，$g(a)$ 恰好是 $f(x), x \in [a, +\infty)$ 的最小值．这样看来题目要求证明的内容就顺理成章：如果 $f$ 不是严格增，必然会导致局部最低点左侧的 $g$ 出现一段平台．而且这样的运行最小值函数也具有特殊性质，即 $g(x)$ 必然单调增．

假设存在 $m < n$ 且 $f(m) \geq f(n)$．$\forall a \in \mathbb{R}$，都有 $M_a = [0, +\infty)$，即 $f(x), x \in [a, +\infty)$ 的值域为 $[g(a), +\infty)$，则 $\displaystyle{g(a) = \min_{x \geq a} f(x)}$．

若 $\displaystyle{\exists a_0, g(a_0) = \min_{x \geq a_0} f(x) = f(x_0) < f(a_0), x_0 > a_0}$，则 $\forall a \in (a_0, x_0)$，$\displaystyle{g(a) = \min_{x \geq a} f(x) = \min_{x \geq a_0} f(x)}$，$g(a) = f(x_0)$，与 $h(x)$ 有限个零点矛盾！

若 $\displaystyle{\forall a, g(a) = \min_{x \geq a} f(x) = f(a)}$，即 $f(x) = g(x)$．则 $\forall x_1, x_2$ 且 $x_1 < x_2$，有 $\displaystyle{f(x_1) = \min_{x \geq x_1} f(x) \leq f(x_2)}$，$f(x)$ 单调增．由最初假设只能 $g(m) = g(n)$，而根据单调增，$\forall x \in (m, n)$，$g(x) = g(m) = g(n)$，与 $h(x)$ 有限个零点矛盾！这里就出现了另一种平台情况．

故假设不成立，任意 $m < n$ 都有 $f(m) < f(n)$，必要性得证．