2024 金山一模 12

已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4 |\vec{b} - \vec{c}| = 2$，$|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a}|$，且 $\vec{a}, \vec{c}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$．求 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的取值范围．

建立平面直角坐标系，$\vec{a} = \vec{OA}, \vec{b} = \vec{OB}, \vec{c} = \vec{OC}$．设 $A(2, 0)$，$A'(-2, 0)$．则 $B$ 在以 $A, A'$ 为焦点的双曲线 $x^2 - \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的右支上，$C$ 恰好位于一条渐近线 $y = \sqrt{3} x$ 上．于是以 $C$ 为圆心，$\frac{1}{2}$ 为半径的圆与双曲线右支有公共点．下面考虑相切的临界情况．

设 $B(x_0, y_0)$，则圆与双曲线的公切线 $x_0 x - \dfrac{y_0 y}{3} = 1$．得到 $BC$ 的方程：

与渐近线 $y = \sqrt{3} x$ 联立，得到 $C$ 的横坐标：

利用弦长公式：

其中 $y_0 = \sqrt{3x_0^2 - 3}$．这个方程不是正常人能解的，这里直接给出：

于是：

答案即为：

参考答案

参考答案很简单：

其错误在于认为临界情况时 $B$ 到渐近线的距离恰好为 $\frac{1}{2}$．但如下图所示，此时圆与双曲线已经有两个公共点．这样求得区间的左端点偏大．