2026 上海春考数学

高二上做了 2026 上海春考数学．因为新课还没有结束，跳过了概率统计相关的第 5、7、17 题．

9：复数

已知 $z \in \mathbb{C}$，$|z| = 2$，$|z - i|$ 的最小值等于 $|z - m| (m > 1)$ 的最小值，求 $m$．

利用复数的几何意义即可．答案：$m = 3$．

10：向量

$\triangle ABC$ 中，$\vec{BD} = \vec{DE} = \vec{EC}$，$|\vec{AD}| = 1$，$\vec{AD}$ 与 $\vec{AE}$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{3}$，求 $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ 的最大值．

主要可能是高一内容有些生疏．根据条件看起来像是一道解三角形的题目，但实际上这会导致计算复杂．

基底表示

以 $\vec{AD}$、$\vec{AE}$ 为基底，设 $AE = x$．

建系

以 $A$ 为原点，$\vec{AD}$ 为 $x$ 轴建立平面直角坐标系（这样可以将确定的信息放在坐标轴上，简化计算）．设 $AE = x$．

极化恒等式

蛮难想到，因为这里中线长、底边长都不是定值．而且计算量较大（但是有计算器）．

设 $\angle AED = \theta$．取 $DE$ 中点 $M$，在 $\triangle ADM$ 中解三角形．

11：解析几何

椭圆 $\Gamma_1: \dfrac{x^2}{a^2} + y^2 = 1 (a > 1)$ 与椭圆 $\Gamma_2: \dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^2}{b^2 + 2} = 1 (b > 0)$ 交于四点 $A$、$B$、$C$、$D$，该四点与 $\Gamma_1$、$\Gamma_2$ 的焦点在同一圆上，求 $b^2$．

通过焦距相等求得 $a = \sqrt{3}$；联立 $\Gamma_1$ 与 $x^2 + y^2 = 2$ 得到四点坐标，代入即得 $b^2 = \sqrt{3}$．

12：立体几何

将油壶抽象成圆柱（不考虑厚度）和一条线段（不考虑容积），圆柱底面直径 $6.4 cm$，高 $16 cm$，其中油面高度 $12.1 cm$，壶嘴长 $13.4 cm$，与壶身夹角 $30 \degree$，壶嘴最低点距底部 $3 cm$．求油壶最小的倾斜度数，使油倒出（精确到 $0.01 \degree$）．

网上很多说这题难，但如果认真读题并感受倾斜油壶的过程就可以转化为平面几何．

考虑对称性，油壶倾斜后油面变为椭圆（可以检验发现油面不接触两底面），其中心相对于圆柱的位置始终不变．则转化为平面几何问题，求该点与壶嘴最高点连线的倾斜角即为最小倾斜度数．

求得 $\theta \approx 14.20 \degree$．

16：抽象函数

对于函数 $y = f(x), x \in D$，设 $A_f = \{(x, y) \mid y \geq f(x), x \in D\}$．对于平面直角坐标系内的点集 $M$，若存在 $(x_0, y_0) \in M$ 使得任意 $(x, y) \in M$，总有 $y \geq y_0$，则称 $(x_0, y_0)$ 为“最低点”．对于定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$，正确的是：

• A. 若 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 都有最小值，则 $A_f \cap A_g$ 有“最低点”
• B. 若 $A_f \cap A_g$ 有“最低点”，则 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 都有最小值
• C. 若 $y = f(x)$ 或 $y = g(x)$ 有最小值，则 $A_f \cap A_g$ 有“最低点”
• D. 若 $A_f \cap A_g$ 有“最低点”，则 $y = f(x)$ 或 $y = g(x)$ 有最小值

关键在于函数定义域．画图构造 $f(x)$ 和 $g(x)$ 及其定义域，可以举出 A、B、C 的反例．答案：D．

19：导数、三角

已知函数 $f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, 0 < \varphi < \pi)$．

1. 若 $\omega = 2$，$f(\dfrac{\pi}{12}) = 1$，求 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程

2. 若 $f(x)$ 的最小正周期为 $3\pi$，方程 $f(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 在 $[0, 2026\pi)$ 上恰有 $1351$ 个解，求 $\varphi$ 的取值范围

利用周期性

考虑利用最小正周期 $3\pi$ 使得计算范围缩小．

$\sin (\dfrac{2}{3}x + \varphi) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 在 $[0, \pi)$ 上仅有一解．$\varphi \in \Big(0, \dfrac{\pi}{12}\Big] \cup \Big(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}\Big]$．

画图

按照 $0 < \varphi \leq \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4} < \varphi \leq \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4} < \varphi < \pi$ 三种情况分类讨论．$\varphi \in \Big(0, \dfrac{\pi}{12}\Big] \cup \Big(\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}\Big]$．

20：解析几何

双曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{y^2}{2} = 1$，过点 $M(m, 0)$ 的直线 $l$ 交 $\Gamma$ 与不同两点 $A$、$B$．

1. 求双曲线离心率 $e$
2. 若 $A(\sqrt{3}, 1)$，$B$ 在双曲线右支上， $B$ 为线段 $AM$ 中点，求 $l$ 的斜率
3. 若 $m > 0$，$F_1$、$F_2$ 分别为双曲线左、右焦点，$A'$ 是 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点，若存在直线 $l$ 使 $\vec{F_1A'} \cdot \vec{F_2B} = 0$，求 $m$ 的取值范围

第二问

画出图像就很简单．

第三问

设线 $x = ky + m$ 联立，二次方程 $k^2 \neq 1$，根据 $\Delta > 0$ 得 $2k^2 > -m^2 + 2$．由 $\vec{F_1A'} \cdot \vec{F_2B} = (-x_1 + 2, y_1) \cdot (x_2 - 2, y_2) = 0$ 代入韦达定理 $2k^2 = 2m^2 - 4m + 2$，得 $m > \dfrac{4}{3}$．

答案：$m \in \Big(\dfrac{4}{3}, 2\Big) \cup (2, +\infty)$．

21：抽象函数

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，若对任意 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，当 $|x_1| < |x_2|$ 时，$f(x_1) < f(x_2)$ 成立，则称函数 $f(x)$ 具有“性质 P”．

1. 判断函数 $y = e^x$ 是否具有“性质 P”
2. 若函数 $f(x) = \begin{cases} ax, x \leq 0 \\ x + b, x > 0 \end{cases}$ 具有“性质 P”，求所有满足条件的 $a, b$
3. 若 $f(x)$ 的值域为 $[0, 1)$，且在 $[0, +\infty)$ 上严格增，证明：函数 $f(x)$ 为偶函数是函数 $f(x)$ 具有“性质 P”的充要条件．

第二问

很自然地猜想 $\begin{cases} a = -1 \\ b = 0 \end{cases}$．考虑先猜后证，将剩余情况推出矛盾．

令 $x_1 = 0$，$\forall x_2$ 且 $|x_2| > 0$，有 $f(x_2) > 0$，则 $b \geq 0$．当 $x_1 \leq 0, x_2 \leq 0$，可知 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 严格减，$a < 0$．

若 $b > 0$，令 $x_2 = \dfrac{b}{a}$，当 $0 < x_1 < -\dfrac{b}{a}$，$f(x_1) > b = f(\dfrac{b}{a})$，矛盾！$\therefore b = 0$．

若 $-1 < a < 0$，令 $x_1 = 1$，当 $\dfrac{1}{a} < x_2 < -1$，$f(x_2) < 1 = f(1)$，矛盾！同理 $a < -1$ 时产生矛盾．$\therefore a = -1$．

第三问

充分性显然．

下证必要性．需要注意本题没有给出连续函数的条件．假设 $\exists r > 0, f(r) \neq f(-r)$，不妨设 $f(r) < f(-r)$．

$\exists y, f(r) < y < f(-r)$．$\because R_f = [0, 1)$，$\therefore \exists x \in \mathbb{R}, f(x) = y$，即 $f(r) < f(x) < f(-r)$．

• 当 $|x| < |r|$，$f(x) < f(r)$，矛盾！
• 当 $|x| > |r|$，$f(x) > f(-r)$，矛盾！
• 当 $|x| = |r|$，$x = \pm r$，$f(x) = f(\pm r)$，矛盾！

假设不成立．得证．

如果试图通过函数值相同的点在 $x$ 轴上构造矛盾，会因为连续性问题导致麻烦（很多同学忽视了原题并未给出连续函数的条件，因此证明无效）．此处 $R_f = [0, 1)$ 实际上提供 $y$ 轴上的满射条件，最后应该在 $y$ 轴上导出矛盾．

同时过程中保留了绝对值．“性质 P”是一个很强的条件，可以推出 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上严格减，在 $[0, +\infty)$ 上严格增，但这只是其必要条件，忽略了 $x_1, x_2$ 异号情况下的“性质 P”．