2026 虹口一模 21

已知函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D, D \subseteq \mathbb{R}$，记 $g(x) = f(x + a) - f(x)$，其中 $a \in D$，且 $x + a \in D$．

1. 当 $D = \mathbb{R}$，$f(x) = x^2$，$a = 1$，求函数 $y = g(x)$ 的零点
2. 当 $D = [-1, +\infty)$，$f(x) = x^3 - 3x$，若恒有 $g(x) > 0$，求实数 $a$ 的取值范围
3. 当 $D = \mathbb{Q}$，求证：“对于任意的正有理数 $a$，函数 $y = g(x)$ 在 $D$ 上均是严格增函数”的充要条件是“任取 $D$ 中两个不相同的元素 $x_1$ 和 $x_2$，均有 $f\Big(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\Big) < \dfrac{1}{2} \Big(f(x_1) + f(x_2)\Big)$”

第三问证明

条件提供了 $D = \mathbb{Q}$，很可能要从两个整数之比的形式考虑，而且不可使用求导．

本质上这一小问要求证明：「差分单调」与「严格凸（中点）」的充要条件．

必要性

必要性很好证．因为 $a$ 的任意性，可以随意赋值．

不妨设 $x_1 < x_2$，令 $a = \dfrac{x_1 + x_2}{2} - x_1 = x_2 - \dfrac{x_1 + x_2}{2} \in \mathbb{Q}$．

必要性得证．

充分性（利用可公度性）

充分性证明相当于已知「相邻 $x$ 轴上等长的两段割线，左边斜率恒小于右边斜率」，求证「$x$ 轴上等长的两段割线，左边斜率恒小于右边斜率」．于是明显发现充分性更难证，同时也能够理解必要性通过代特殊值证明的原因．

欲证 $\forall a \in \mathbb{Q}$，$g(x)$ 在 $D$ 上严格增，即证 $\forall m, n \in \mathbb{Q}, m < n, \forall a \in \mathbb{Q}, a > 0$，有 $f(m + a) - f(m) < f(n + a) - f(n)$．

设 $m = \dfrac{q}{p}, n = \dfrac{s}{r}, a = \dfrac{v}{u}$（$p, q$ 互素，$r, s$ 互素，$u, v$ 互素，$p, q, r, s, u, v \in \mathbb{Z}$，$p, r, u > 0$，$v > 0$）．

设 $T$ 为 $p, r, u$ 的最小公倍数，则 $m = \dfrac{\lambda}{T}, n = \dfrac{\mu}{T}, a = \dfrac{\varphi}{T}$（$\lambda, \mu, \varphi \in \mathbb{Z}$，$\varphi > 0$，$\lambda < \mu$）．

即证：

由 $f\Big(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\Big) - f(x_1) < f(x_2) - f\Big(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\Big)$：

同理：

累加，充分性得证．

充分性（利用 Jensen 不等式）

以下证明比较炫技，相较于上文利用可公度性的证法更加优雅．

先证明 $2^k$ 点等权严格 Jensen．断言 $P(k)$：对任意 $2^k$ 个有理数 $x_1, x_2, \ldots, x_{2^k}$，

当且仅当 $x_1 = x_2 = \ldots = x_{2^k}$ 取等．

$P(1)$ 即严格中点凸成立．假设 $P(k)$ 成立，下证 $P(k + 1)$．

对 $2^{k + 1}$ 个数 $x_1, \ldots, x_{2^{k + 1}}$，

当且仅当 $x_1 = x_2 = \ldots = x_{2^{k + 1}}$ 取等．

有数学归纳法可知，对不全相同的 $x_1, x_2, \ldots, x_{2^k} \in \mathbb{Q}, k \in \mathbb{N}, k \geq 1$，

该结论可推广到对任意 $n$ 个数成立．对任意 $n \geq 2$，任取 $x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{Q}$，若不全相等，令 $\bar{x} = \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n} \in \mathbb{Q}$．取 $2^k > n$，构造 $2^k$ 个数：$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 与 $2^k - n$ 个 $\bar{x}$．它们等权平均仍为 $\bar{x}$，且仍不全相等．

任意 $x_1 < x_2 \in \mathbb{Q}$，任意 $t \in (0,1)\cap\mathbb{Q}$，设 $t = \dfrac{p}{q}, p, q \in \mathbb{Z}, 0 < p < q, p, q \ \text{互素}$．考虑 $q$ 个数：$q - p$ 个 $x_1$ 与 $p$ 个 $x_2$．

由此得到了有理严格凸．

现在回到主证．固定 $a \in \mathbb{Q}, a > 0$，任取 $x_1 < x_2$（均为有理数），记 $p = x_2 - x_1 > 0, q = a > 0$．则 $x_1, x_2, x_1 + a, x_2 + a \in \mathbb{Q}$，且：

分别用有理严格凸：

相加，

即 $g(x_1) < g(x_2)$，$g$ 在 $\mathbb{Q}$ 上严格增．充分性得证．

参考答案

很多参考答案上的第三问充分性证明如下：

$\forall x_1 \in \mathbb{Q}, \forall a \in \mathbb{Q}, a > 0$，$f(x_1 + 2a) - f(x_1 + a) > f(x_1 + a) - f(x_1)$，即 $g(x_1 + a) > g(x_1)$，又 $x_1 + a > x_1$，所以 $y = g(x)$ 在 $D$ 上严格增．

乍一看好像还有点道理．尤其是 $\forall a$ 让人觉得 $x_1 + a$ 和 $x_1$ 都是任意的，能够推出严格增．

但实际上 $\forall a$ 只表示：可以对每个 $a$ 都各做一遍这一步，然后每次都证明出 $g(x)$「隔 $a$ 严格增」．这里存在着任意性的嵌套，当位于「$a$ 的任意性之内」，$a$ 相当于是常数，不再具有任意性．

可公度性

在一个加法群（或数域）里，给定两个正数 $u, v$，称它们可公度，是指存在正整数 $m, n$ 使 $mu = nv$．等价地，$\dfrac{v}{u} \in \mathbb{Q}$．也就是说，它们可以用同一个「基本单位」整倍数地度量．

在 $\mathbb R$ 中，$u,v$ 可公度指 $\dfrac{v}{u}$ 是有理数；不可公度则指 $\dfrac{v}{u}$ 为无理数．

本题中，通过取最小公倍数，得到 $\dfrac{1}{T}$ 作为「基本单位」，从而把「任意两点比较」化为「有限次相邻比较」的链式传递．如果将定义域改为 $\mathbb{R}$ 则不具有该性质．

凹凸性

凸：任意 $x_1 < x_2$，任意 $t \in [0, 1]$，

严格凸：任意 $x_1 < x_2$，任意 $t \in (0, 1)$，

$f$ 凹 $\Longleftrightarrow$ $-f$ 凸；严格凹同理．

Jensen 不等式

以下「有效点」指权重 $\lambda_i > 0$ 的那些 $x_i$．

给 $\lambda_i \geq 0$，$\displaystyle{\sum_{i = 1}^n \lambda_i = 1}$，定义加权平均：

Jensen 不等式：

严格 Jensen 不等式（要求有效点中至少有两个不同点，即 $\exists \lambda_i, \lambda_j > 0$ 且 $x_i \neq x_j$）：

凸 $\Leftrightarrow$ Jensen：

若所有有效点都相同，则上式应允许取等．

• $\Rightarrow$：用二点凸性反复归纳，证明如下
• $\Leftarrow$：取 $n = 2$

以下以严格凸为例，证明严格凸 $\Rightarrow$ 严格 Jensen．

断言 $P(n)$：$\displaystyle{f\Big(\sum_{i = 1}^n \lambda_i x_i\Big) < \sum_{i = 1}^n \lambda_i f(x_i)}$．$P(1)$ 显然成立．由 $f$ 严格凸，$P(2)$ 成立．

假设 $P(n)$ 成立，下证 $P(n + 1)$ 成立，即证 $\displaystyle{f\Big(\sum_{i = 1}^{n + 1} \lambda_i x_i\Big) < \sum_{i = 1}^{n + 1} \lambda_i f(x_i)}$．

令 $\displaystyle{\alpha = \lambda_{n + 1}, 1 - \alpha = \sum_{i = 1}^n \lambda_i}$，设 $\displaystyle{\bar{x} = \sum_{i = 1}^n \frac{\lambda_i}{1 - \alpha} x_i}$．

中点凸

中点凸：

严格中点凸：

中点凸 $\Leftrightarrow$ 等权重的 Jensen $\Leftrightarrow$ 有理凸 $\Leftrightarrow$ 有理 Jensen：这实际就是本题利用 Jensen 不等式的过程．

与严格凸 $\Leftrightarrow$ 严格 Jensen 的证明同理可得严格有理 Jensen．

差分单调性

斜率引理：若 $x_1<x_2<x_3$，定义割线斜率 $m(u, v) = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$，则 $f$ 凸 $\Rightarrow$ $m(x_1,x_2)\le m(x_1,x_3)\le m(x_2,x_3)$；严格凸时则严格 $<$．

斜率引理通过定义证明即可．

凸 $\Rightarrow$ 差分 $f(x + a) - f(x)$ 单调增：

以严格凸为例．固定 $a > 0$，令 $g(x) = f(x + a) - f(x)$．

任取 $x_1 < x_2$，则 $x_1 < x_1 + a < x_2 + a$ 与 $x_1 < x_2 < x_2 + a$，由斜率引理，

于是 $g(x_1) < g(x_2)$，即 $g$ 严格增．

本题中利用斜率引理也是在得到有理严格凸之后证明差分严格增的直观方法．